Урок 1.

  Урок 1. История систем счисления,  непозиционные и унарные системы счисления.

Вся информация в компьютере кодируется числами. Кодируются данные вычислительных задач, буквы алфавитов, рисунки и музыка, кодируются управляющие сигналы и вся другая информация, с которой работает компьютер.     

"Все есть число", — говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Известно множество способов представления чисел.  В любом  случае число изображается  символом  или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами.

 Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

        Системы счисления делятся на следующие виды:

1. единичные системы (системы бирок); 
2. непозиционные (кодовые) системы;
3. позиционные системы.

Единичные системы счисления.

        История развития способов счета насчитывает тысячелетия. Менялись и средства счета: пальцы, камешки, узелки, счеты, арифмометры, компьютеры.

        Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.

        Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, сколько полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая,  единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1-го класса счету.

Единичная система — не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными.

С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Непозиционные системы счисления

1. Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно  в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы.

  Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной.

  Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы).

Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

2. Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая  сохранилась  до  наших  дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи,  Мille — тысяча).

Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).

        Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание.

        Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11, а десятичное число 99 имеет вот такое представление: XCIХ=-10+100-1+10.

        Римскими цифрами  пользовались  очень долго.  Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами  (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система  счисления сегодня используется,  в основном,  для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

3. Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие.

        Древнегреческая алфавитная система счисления

В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, ..., 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, например a = 1, b = 2, g = 3  и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, ..., 90 применялись следующие 9 букв (i = 10, k = 20, l = 30, m = 40  и т.д.),  а для обозначения чисел 100, 200, ..., 900 — последние 9 букв (r = 100, s = 200, t = 300 и т.д.).

 Например, число 141 обозначалось ρμα.

       Древнерусская алфавитная система счисления

 У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.

 В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

        Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1. Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.