Урок 2. Позиционные системы счисления.

        Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

        Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

Основание определяет количество знаков(цифр), используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Совокупность отличных друг от друга знаков(цифр), которые используются для записи чисел, называется алфавитом системы счисления.

	Знаковая система: русский буквенный алфавит. Основание: 33 знака (буквы). Алфавит системы: А, Б, В, Г, Д, Е ... Э, Ю, Я.
	Знаковая система: латинский буквенный алфавит. Основание: 26 знаков (букв). Алфавит системы: A, B, C, D, E, F ...  X, Y, Z.

 Возможно множество позиционных систем,  так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2.  Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.).

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

К позиционным системам счисления относятся двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Здесь любое число записывается  последовательностью цифр соответствующего алфавита, причем  значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она  занимает в этой последовательности.

Десятичная система счисления пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э.

Например, в записи 555, сделанной в десятичной системе счисления, использована одна цифра  5, но в зависимости от занимаемого ею места она имеет разное количественное значение – 5 единиц, 5 десятков или 5 сотен. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.

            Десятичная система характеризуется тем,  что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

Совокупность различных цифр, используемых в системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления.

Для записи чисел в P-ичной системе счисления требуется P различных цифр

 (0,1,...,P-1), т.е для двоичной -2 цифры, 10- ой –десять цифр, 16- ричной – 16 цифр.

 

Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры по её месту в записи числа, т.е. «вес» каждого разряда.

Пример. Выпишем базисы некоторых систем счисления.

Десятичная система: …, 0,001,  0,01, 1, 10, 10², 10³, 10⁴, ..., 10ⁿ, ...

Двоичная система: …,1/4, 1/2, 1, 2, 2², 2³, 2⁴, ..., 2ⁿ, ...

Восьмеричная система: …1/64, 1/8,  1, 8, 8², 8³, 8⁴, ..., 8ⁿ, ...

Базисы приведенных систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями 10, 2 и 8.

Договоримся называть такие системы счисления традиционными. В более общем виде для традиционных позиционных систем счисления базис можно записать в виде:

…, P^-3 ,    P^-2 ,    P^-1 ,   1 ,     P,    P² ,   P^З ,…,Pⁿ , …

Знаменатель Р геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основание системы счисления.

Позиционные системы счисления с основанием Р будем называть Р-ичными.

Зная базис Р-ичной системы счисления, мы можем сказать, сколько «весит» единица каждого разряда в позиционной системе.

Позиционные системы счисления.